Autor:  Santos Bravo Yuste

   Profesor Titular de Física Teórica del Departamento de Física de la Universidad de Extremadura

Enlace al libro e información adicional

El libro MÉTODOS MATEMÁTICOS AVANZADOS PARA CIENTÍFICOS E INGENIEROS (Santos Bravo Yuste, Servicio Publicaciones de la UEx, 2006, ISBN: 84-689-9786-2) es el número 48 de la colección Manuales UEx y el primer libro publicado on-line  (e-book) por el Servicio de Publicaciones de la Universidad de Extremadura cuyo acceso es libre y completamente gratuito. Este libro puede descargarse  en formato pdf desde la página web del Servicio de Publicaciones de la Universidad de Extremadura o simplemente pinchando aquí.

► Lista de erratas

Enlaces con material complementario al libro

• Producto escalar de dos funciones en un intervalo [a,b] con respecto función peso r(x).

• Fenómeno de Gibbs (1).

• Fenómeno de Gibbs (2).

• Cuerda vibrante.

• Modos de vibración de una membrana circular (1).

• Modos de vibración de una membrana circular (2).

• Modos de vibración de una membrana cuadrada (1).

• Modos de vibración de una membrana cuadrada (2).

• Animaciones de sistemas vibrantes y acústicos

• Resolución de la ecuación de ondas en una membrana rectangular.

• Resolución de la ecuación de ondas en una membrana triangular.

• Sistemas caóticos mínimos (página de J. C. Sprott).

• Página web de de J. C.Sprott  sobre el problema de Romeo y Julieta.

• Página web donde se cuenta lo que es un dipolo y un cuadripolo y donde se ven sus líneas de fuerza y sus líneas equipotenciales.

•  Euler en 1735 logró averiguar que el valor exacto de esta suma  ("problema de Basilea"):

        es π²/6. Más información sobre este problema, y sobre cómo Euler logró resolverlo, en esta página de Wikipedia.

El programa Mathematica es muy útil para aprender matemáticas .  Lo que sigue son algunos cuadernos de Mathematica sobre diversos tópicos estudiados (o simplemente relacionados) con los contenidos expuestos en el libro:

• En ResoNumEDO.nb practicamos con algunos métodos numéricos de resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones iniciales.  (Pinchar aquí  para bajarse el archivo en el formato de Mathematica).

• En DifusMetExpli1D.nb  se resuelve  una ecuación difusiva unidimensional mediante un método explicito en diferencias finitas.  (Pinchar aquí  para bajarse el archivo en formato de  Mathematica).

• En  DifusMetExpli2D.nb se resuelve  numéricamente mediante el método explícito una ecuación difusiva bidimensional con condiciones iniciales no triviales.  (Pinchar aquí  para bajarse el archivo en el formato de  Mathematica).

• En el cuaderno CuadraturaGauss.nb se estudia en qué consisten las fórmulas de integración de Gauss. Este cuaderno tiene asociado un  guión de prácticas. (Pinchar aquí  para bajarse el archivo en el formato de Mathematica).

• El el cuaderno (notebook) llamado Duffing.nb se estudia el comportamiento caótico del oscilador no lineal forzado llamado oscilador de Duffing. (Pinchar aquí  para bajarse el archivo en el formato de Mathematica).

• En el cuaderno  FractalBasin.nb  se discute la importancia de las condiciones iniciales en el comportamiento final del oscilador de Duffing. Si clasificamos los puntos del plano de las condiciones iniciales según  sea el correspondiente comportamiento final del oscilador, resulta que este plano tiene estructura fractal. Su representación da lugar a unas figuras preciosas.  (Pinchar aquí  para bajarse el archivo en el formato de  Mathematica).

Programas en BASIC y Mathematica

Programas en QBASIC y  cuadernos Mathematica que se utilizan y se citan en el libro  y que sirven como material auxiliar y de apoyo de los  contenidos del texto:

• Regla del trapecio (programa TRAPECIO.BAS en QBASIC).

• Regla de Simpson (programa SIMPSON.BAS en QBASIC).

• Resolución de un problema difusivo mediante método explícito (programa EDPEXPLI.BAS en QBASIC).

• Resolución de  un problema difusivo mediante el método de Crank-Nicholson (programa EDPCRANK.BAS en QBASIC).

• Resolución de una EDO con condiciones de contorno mediante método iterativo de super-relajación (programa SUPRELAX.BAS en QBASIC)

• Programa DERIVA.BAS (en QBASIC) que evalúa la derivada de la función seno en x=1 mediante la derivada central de tres puntos y mediante la derivada lateral derecha e izquierda de dos puntos.

• Programa   Mathematica para el cálculo de las series de Neumann.  El cálculo de las series de Neumann es en principio directo aunque engorroso porque requiere la evaluación de un gran número de integraciones. Cuando una tarea es mecánica y  pesada, suele ser una buena idea buscar algo (mejor que alguien) que lo haga por ti.  En seriesNeumann.nb  se dan un conjunto de instrucciones o "cuaderno" del programa Mathematica que nos libera de la pesada y aburrida tarea de integrar una y otra vez expresiones simples. El procedimiento que se emplea es la traducción directa de la relación de recurrencia
                                                             

• Programa   Mathematica para el cálculo de las series de Fredholm. El cálculo de las series de Fredholm es directo aunque engorroso porque requiere la realización de un gran número de integraciones y de operaciones algebraicas para evaluar los determinantes. En seriesFredholm.nb  damos un conjunto  de instrucciones o "cuaderno"' del programa Mathematica que lleva a cabo esta tarea.
  Para el cálculo de y   se han utilizado las relaciones de recurrencia  
          =
          
  donde
                   
          

 ¿Por qué se ha usado el lenguaje  QBASIC? La respuesta que, hasta hace poco me parecía muy convincente, era:   ``QBASIC es un programa muy sencillo que está a disposición de casi cualquiera que disponga de un ordenador personal al estar incluido de serie en el sistema operativo MS-DOS y Windows de Microsoft''.  Desgraciadamente, a partir de Windows 98 esto ya no es cierto, de modo que hay que conservar nuestras viejas copias del programa como oro en paño. En la parte positiva está que QBASIC se puede encontrar con relativa facilidad (consulta en las siguientes direcciones:  enlace 1 y enlace 2, por ejemplo, o, mejor, utiliza un buscador para encontrar lo último sobre QBASIC), o,  en el peor de los casos, puede adquirirse por poco dinero.
Una objeción habitual al uso de QBASIC es que este lenguaje es demasiado "básico". Mi respuesta a esto es doble. Para empezar, el calificativo de básico es lo que se persigue, pues mi intención es proporcionar programas que sirvan para entender los métodos numéricos, ¡y experimentar con ellos!, evitando en lo posible consideraciones sobre programación. Por último, los programas son tan sencillos que, quién plantea esas objecciones, seguramente podrá traducirlos a un lenguaje superior en un periquete.

Varios

• Biografías de científicos y matemáticos: 

  • The MacTutor History of Mathematics archive

  • Eric Weisstein's World of Biography

• El libro "Numerical Recipes in X" donde X=Fortran 77, X=Fortran 90, y X=C, en formato pdf o PostScript. Este libro de recetas es tan útil para quien ha de pelearse con programación y cálculos numéricos serios como el libro de recetas (de cocina) de Simone Ortega es para el común de los mortales. Es, sin embargo, mucho más divertido. Las discusiones teóricas son breves y amenas. Las recetas son fáciles de implementar y con ellas se tiene el éxito casi asegurado. Muy recomendable.

• Estupendos cuadernos de Mathematica en los que se estudian diversos problemas de Dinámica No Lineal. Especialmente interesantes son BVPFiniteDiffMethod.nb (resolución numérica mediante diferencias finitas de ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones de contorno), ShooTingMethod.nb ( resolución numérica mediante el método del disparo de ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones de contorno) y SturmLiouville.nb (problema de Sturm-Liouville y resolución mediante diferencias finitas)

• Enlaces con compañías que ofrecen programas de cálculo simbólico:

  •  Mathematica: http://www.wolfram.com

  •  Maple: http://www.maplesoft.com

  • Derive:  http://www.derive.com
     

• Cursos de Mathematica: 

  •  Curso muy completo diseñado para un curso de un semestre en la Univ. de Maryland. 

  •  Una introducción breve y directa (en pdf) escrita por Peter Young.